Conjuntos - Relaciones - Funciones

Conjuntos: 

Definición (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.

El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto no se tiene en cuenta repeticiones de elementos.

A = {1, 2, 3}, B = {△, }, C = {1, {1}, {2, 3}}.

Cardinal de un conjunto. Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a la cantidad de elementos distintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un numero finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A = ∞.

 #∅ = 0, #{a, b, c} = 3 = #{1, 2, 3}, #N = ∞.

Extensión: Las definiciones comunes de un conjunto son por extensión (listando todos los elementos del conjunto entre las llaves { y }, cuando es posible hacerlo, o sea cuando el conjunto es finito) y por comprensión (a través de una propiedad que describe los elementos del conjunto, pero usualmente para eso se necesita la noción de subconjunto porque hay que dar un conjunto referencial, de donde se eligen los elementos).

A = {x ∈ R : x ≥ −2}, B = {k ∈ Z : k ≥ −2}.

P = {n ∈ N : n es par}, I = {k ∈ Z : k es impar}.

Subconjuntos e Inclusión. Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto B esta contenido en A, y se nota B ⊆ A (o también B ⊂ A), si todo elemento de B es un elemento de A. En ese caso decimos también que b esta incluido en A, o que B es un subconjunto de A. Si B no es un subconjunto de A se nota B ̸⊆ A (o B ̸⊂ A).

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

Operaciones entre conjuntos.

Supondremos en todo lo que sigue que los conjuntos A, B, C, . . . que se consideran son sub-conjuntos de un mismo conjunto referencial (o de referencia) U (para poder “operar”). Esto también es generalmente indispensable al definir un conjunto por comprension, como por ejem-plo P = {n ∈ N : n es un numero par } , o I = {x ∈ R : x ≤ 2} = [−∞, 2), que no es lo mismo que J = {x ∈ N : x ≤ 2} = {1, 2}.

Complemento: Sea A subconjunto de un conjunto referencial U. El complemento de A (en U) es el conjunto A′ de los elementos de U que no pertenecen a A. Es decir

A′ = {b ∈ U : b /∈ A}, o también ∀ b ∈ U, b ∈ A′ ⇐⇒ b /∈ A.

Union: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La unión de A y B es el conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B. Es decir 

A∪B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o también ∀ c ∈ U, c ∈ A∪ B ⇐⇒ c ∈ A o c ∈ B.

Interseccion. Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersección de A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B. Es decir

A ∩ B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o también c ∈ A ∩ B ⇐⇒ c ∈ A y c ∈ B.

Diferencia −: A − B es el conjunto de los elementos de A que no son elementos de B, o tambien, A − B = A ∩ B′ . Es decir

A − B = {a ∈ A : a /∈ B}, o tambi ́en a ∈ A − B ⇐⇒ a ∈ A y a /∈ B.

Diferencia simetrica △: A △ B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a A o a B pero no a los dos a la vez. Es decir

A △ B = {c ∈ U : (c ∈ A y c /∈ B) o (c ∈ B y c /∈ A)}.

Vale A △ B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∩ B′) ∪ (B ∩ A ′) = (A ∪ B) − (A ∩ B).

Relación reflexiva, simétrica, antisimetrica y transitiva.

Sean A un conjunto y R una relación en A.

Se dice que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, ∀ a ∈ A (dicho de otra manera, a R a, ∀ a ∈ A). En términos del grafo de la relación, R es reflexiva si en cada vértice hay una flecha que es un “bucle”, es decir que parte de  el y llega a el.

Se dice que R es simétrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R, entonces el par (b, a) ∈ R también (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a). En términos del grafo de la relación, R es simétrica si por cada flecha que une dos vértices en un sentido, hay una flecha (entre los mismos vértices) en el sentido opuesto.

Se dice que R es antisimetrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R con a ̸= b, entonces el par (b, a) ∈ R/ (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b y b R a ⇒ a = b). En términos del grafo de la relación, R es antisimetrica si no hay ningún par de flechas en sentidos opuestos que unen dos vértices distintos.

Se dice que R es transitiva si para toda terna de elementos a, b, c ∈ A tales que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, se tiene que (a, c) ∈ R también (dicho de otra manera, ∀ a, b, c ∈ A, a R b y b R c ⇒ a R c). En términos del grafo de la relación, R es transitiva si hay un “camino directo” por cada “camino con paradas”.

Relación de equivalencia y relación de orden.

Sean A un conjunto y R una relación en A.
Se dice que R es una relación de equivalencia cuando es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.
Se dice que R es una relación de orden cuando es una relación reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Función. 

Sean A y B conjuntos, y sea R una relación de A en B. Se dice que R es una función cuando todo elemento a ∈ A esta relacionado con algún b ∈ B, y este elemento b es  único. Es decir:
 ∀ a ∈ A, ∃ ! b ∈ B : a R b.
Aquí el símbolo “∃ !” significa “existe un  único”, es decir:
∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B tal que a R b, y si b, b′ ∈ B son tales que a R B y a R b′
, entonces b = b′
.
Como a cada a ∈ A le corresponde un b ∈ B y este b es único, se le puede dar un nombre que hace notar la dependencia de a: se dice que b es la imagen de a por f, y se suele notar “b = f(a)”,